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Resumen GCS

E. Hernandis, M. Baquedano - 09 Dec 2019

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en general

Curvas planas

Curvas en el espacio

Superficies

Sea \(f: S_1 \to S_2\) una aplicación diferenciable entre superficies regulares.

Sea \(\alpha: I \to \mathbb{R}^3\) una curva regular contenida en \(S\) (es decir, \(\alpha(I) \subset S\))


  1. Si calculamos \(W_p\) mediante la diferencial del normal, debemos recordar que para obtener la forma matricial del endomorfismo necesitamos fijar una base. Por tanto, para llegar a la misma matriz que la que sale de las formas fundamentales mediante la fórmula que se expone a continuación, necesitamos expresar \(dN\) respecto de la base de vectores coordenados.

  2. Ver la fórmula de Brioschi en https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_curvature#Alternative_formulas

  3. Las curvaturas geodésica y normal son las componentes del vector normal \(\mathbf{n}_\alpha\) de una curva \(\alpha \subset S\) regular. Recordemos que dado un punto de la curva que también está en la superficie podemos construir el triedro de Darboux tomando como vector de referencia \(\mathbf{t}_\alpha(s)\). En este caso, se genera el la base ortogonal \(\{\mathbf{t}_\alpha(s), J\mathbf{t}_\alpha(s), (N \circ \alpha)(s)\}\). Como \(\mathbf{n}_\alpha(s) \perp \mathbf{t}_\alpha(s)\) si expresamos \(\mathbf{n}_\alpha(s)\) respecto del triedro de Darboux solo tendrá coordenadas en \(J\mathbf{t}_\alpha(s)\) y \((N \circ \alpha)(s)\). Definimos las curvaturas geodésica y media como este par de coordenadas respecto del triedro de Darboux (sabiendo que la coordenada que acompaña a \(\mathbf{t}_\alpha(s)\) siempre será 0).

  4. Ojo: en ocasiones hay que trabajar un poco para obtener la parametrización. Por ejemplo, la isometría entre plano y cono no es la identidad como ocurre en el cilindro. La forma más sencilla de obtenerla es parametrizar el plano en coordenadas polares y el cono como superficie de revolución, pero además tomando una parametrización por longitud de arco de la recta \((r(u), z(u))\) que giramos al rededor del eje \(z\) para parametrizar el cono. Esto nos da casi una isometría salvo por el \(G\) de la \(I_\phi\). Lo corregimos multiplicando \(v\) por la norma de la recta \((r, z)\). Es decir, parametrizar el plano por \(\mathbf{x}(r, \theta)\) y el cono por \(\phi(u, v)\) donde \[\mathbf{x}(r,\theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta, 0) \\ \phi(u,v) = \frac{\rho u}{\sqrt{\rho^2 + 1}}\left(\cos(v\sqrt{\rho^2 + 1}), \sin(v \sqrt{\rho^2 + 1}), 1\right)\] En cualquier caso, aunque lo de las isometrías está bien, no debemos olvidar el Teorema de Clairaut mencionado más arriba. En este caso, parametrizando el cono sin las restricciones adicionales, es decir, tomando \(\psi(u, v) = (u\cos v, u \sin v, u)\) como parametrización, tenemos que \(I_\psi\) solo depende de \(u\) y por tanto podemos aplicar el teorema.

  5. Sin embargo, si \(\alpha\) es una geodésica que pasa por dos puntos, no tiene por qué ser la curva de menor longitud que los une, puede haber varias geodésicas que lo hagan. Lo importante es que solo una curva será de longitud mínima y dicha curva será una geodésica.

  6. No confundir con el Teorema de Clairaut-Schwarz sobre la simetría de las derivadas cruzadas.