E. Hernandis, M. Baquedano - 21 Jan 2020
Una curva plana es una aplicación continua \(\alpha: I \subset \mathbb{R}^n\) definida por \(\alpha(t) = (\alpha_1(t), \dots, \alpha_n(t))\).
La velocidad es la derivada \(\alpha'(t) = (\alpha_1'(t), \dots, \alpha_n'(t))\)
La rapidez es la norma de la velocidad \(v_\alpha(t) = \left\lVert\alpha'(t)\right\rVert\)
\(\alpha\) es regular \(\iff v_\alpha(t) > 0, \forall t \in I\)
La derivada (o velocidad) normalizada es \(T_\alpha(t) = \frac{\alpha'(t)}{v_\alpha(t)}\).
La longitud es \(l_\alpha = \int_I v_\alpha(t)dt\).
Una parametrización es un difeomorfismo \(\varphi : J \subset \mathbb{R}\to I \subset \mathbb{R}\)
El signo de una parametrización es \[\begin{aligned} \varepsilon(\varphi) = \begin{cases} +1 &\text{ si } \varphi'(t) > 0, \forall t \in J \\ -1 &\text{ si } \varphi'(t) < 0, \forall t \in J \end{cases} \end{aligned}\]
Una curva está parametrizada por longitud de arco o p.p.a \(\iff \left\lVert\alpha'(t)\right\rVert = 1,\ \forall t \in I\).
Si para dos curvas \(\alpha, \beta\) existe \(\varphi\) difeomorfismo tal que \(\alpha = \beta \circ \varphi\) decimos que \(\alpha \sim \beta\)
\(\sim\) es una relación de equivalencia
Dos curvas en una misma clase de equivalencia comparten la traza o imagen.
Se cumple \[\begin{aligned} \alpha'(t) = \beta'(\varphi(t))\varphi'(t) \\ \left\lVert\alpha'(t)\right\rVert = \end{aligned}\]
Una curva es birregular \(\iff\) para una parametrización \(\alpha\) se tiene que \(\alpha'\) y \(\alpha''\) son linealmente independientes.
El diedro de Frenet-Serret formado por los vectores \[\begin{aligned} \mathbf{t}_\alpha(t) &= \frac{\alpha'(t)}{\left\lVert\alpha'(t)\right\rVert} \\ \mathbf{n}_\alpha(t) &= J\mathbf{t}_\alpha(t) \text{ con } J = \left(\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \end{aligned}\]
La curvatura (con signo) \[\begin{aligned} k_\alpha(t) &= \frac{\langle \mathbf{t}_\alpha'(t), \mathbf{n}_\alpha(t) \rangle}{\left\lVert\alpha'(t)\right\rVert} \\ k_\alpha(t) &= \frac{\det(\alpha'(t),\ \alpha''(t))}{\left\lVert\alpha'(t)\right\rVert^3}&\text{ si } \alpha \text{ regular } \\ k_\alpha(t) &= \left\lVert\alpha''(t)\right\rVert &\text{ si } \alpha \text{ está p.p.a. } \end{aligned}\]
El vector curvatura es \(\mathbf{k}_\alpha(t) = k_\alpha(t) \mathbf{n}_\alpha(t)\)
El radio de curvatura \[\begin{aligned} \rho_\alpha(t) = \frac{1}{k_\alpha(t)} \end{aligned}\]
El centro de curvatura \[\begin{aligned} C_\alpha(t) = \alpha(t) + \frac{1}{k_\alpha(t)}\mathbf{n}_\alpha(t) \end{aligned}\]
El circulo osculador o circunferencia osculatriz \[\begin{aligned} \{p \in \mathbb{R}^2 : \left\lVert p - C_\alpha(t)\right\rVert = \frac{1}{k_\alpha(t)},\text{ para } t \in I\text{ fijado } \} \end{aligned}\]
Las ecuaciones de Frenet-Serret salen de tomar la submatriz \(2 \times 2\) de las ecuaciones en el espacio.
El triedro de Frenet-Serret formado por los vectores \[\begin{aligned} \mathbf{t}_\alpha(s) &= \frac{\alpha'(s)}{\left\lVert\alpha'(s)\right\rVert} \\ \mathbf{n}_\alpha(s) &= \frac{\mathbf{t}_\alpha'(s)}{\left\lVert\mathbf{t}_\alpha'(s)\right\rVert} \\ \mathbf{b}_\alpha(s) &= \mathbf{t}_\alpha(s) \times \mathbf{n}_\alpha(s) \end{aligned}\]
Los 3 planos del triedro de Frenet-Serret para un punto \(\alpha(s)\) de la curva [afines] son:
El plano osculador \(\text{ span}\{\mathbf{t}_\alpha(s), \mathbf{n}_\alpha(s)\} + \alpha(s)\) cuyos puntos \(P\) cumplen \(\langle P - \alpha(s), \mathbf{b}_\alpha(s) \rangle = 0\)
El plano normal \(\text{ span}\{\mathbf{n}_\alpha(s), \mathbf{b}_\alpha(s)\} + \alpha(s)\) cuyos puntos \(P\) cumplen \(\langle P - \alpha(s), \mathbf{t}_\alpha(s) \rangle = 0\)
El plano rectificante \(\text{ span}\{\mathbf{t}_\alpha(s), \mathbf{b}_\alpha(s)\} + \alpha(s)\) cuyos puntos cumplen \(\langle P - \alpha(s), \mathbf{n}_\alpha(s) \rangle = 0\)
La curvatura (siempre \(\geq 0\)) \[\begin{aligned} k_\alpha(s) &= \frac{\left\lVert\mathbf{t}_\alpha'(s)\right\rVert}{\left\lVert\alpha'(s)\right\rVert} \end{aligned}\] \[\begin{aligned} k_\alpha(s) &= \frac{\left\lVert\alpha'(s) \times \alpha''(s)\right\rVert}{\left\lVert\alpha''(s)\right\rVert^3} &\text{ si } \alpha \text{ regular }\\ k_\alpha(s) &= \left\lVert\alpha''(s)\right\rVert &\text{ si } \alpha \text{ p.p.a} \end{aligned}\]
El vector curvatura \[\begin{aligned} \mathbf{k}_\alpha(s) &= \frac{\mathbf{t}_\alpha'(s)}{\left\lVert\alpha'(s)\right\rVert} \text{ colineal con } \mathbf{n}_\alpha(s) \end{aligned}\]
La torsión \[\begin{aligned} \tau_\alpha(s) &= -\frac{\langle \mathbf{b}_\alpha'(s), \mathbf{n}_\alpha(s) \rangle}{\left\lVert\alpha'(s)\right\rVert}\\ \tau_\alpha(s) &= \frac{\det(\alpha'(s),\ \alpha''(s),\ \alpha'''(s))}{\left\lVert\alpha'(s) \times \alpha''(s)\right\rVert^2} \text{ si } \alpha \text{ regular } \end{aligned}\]
Las ecuaciones de Frenet-Serret \[\begin{aligned} \mathbf{t}_\alpha' &= v_\alpha k_\alpha \mathbf{n}_\alpha \\ \mathbf{n}_\alpha' &= -v_\alpha k_\alpha \mathbf{t}_\alpha + v_\alpha \tau_\alpha \mathbf{b}_\alpha \\ \mathbf{b}_\alpha' &= -v_\alpha \tau_\alpha \mathbf{n}_\alpha \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \left(\begin{array}{c} \mathbf{t}_\alpha' \\ \mathbf{n}_\alpha' \\ \mathbf{b}_\alpha' \end{array}\right) = \left\lVert\alpha'(s)\right\rVert \left(\begin{array}{ccc} 0 & k_\alpha & 0 \\ -k_\alpha & 0 & \tau_\alpha \\ 0 & -\tau_\alpha & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \mathbf{t}_\alpha \\ \mathbf{n}_\alpha \\ \mathbf{b}_\alpha \end{array}\right) \end{aligned}\]
Un homeomorfismo entre dos espacios topológicos es una aplicación biyectiva continua y con inversa continua.
Una superficie regular \(S\) es un subconjunto no vacío \(S \subset \mathbb{R}^3\) tal que para todo \(p \in S\) existe un abierto \(U \subset \mathbb{R}^2\), un entorno abierto \(V\) de \(p\) en \(\mathbb{R}^3\) y una parametrización \(\mathbf{x}: U \subset \mathbb{R}^2 \to V \subset S \subset \mathbb{R}^3\) tal que
\(\mathbf{x}\) es diferenciable como aplicación \(x : U \to \mathbb{R}^3\)
\(\mathbf{x}\) es un homeomorfismo
\(\forall (u,v) \in U, (d\mathbf{x})_{(u,v)} : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3\) es inyectiva \(\iff\) los vectores coordenaods son linealmente independientes \(\forall (u,v) \in U\).
Los vectores coordenados en un punto \(\mathbf{x}(u, v) \in S\) son \[ \mathbf{x}_u(u, v) = \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial u}(u,v) = (d\mathbf{x})_{(u,v)} \cdot e_1\\ \mathbf{x}_v(u, v) = \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial v}(u,v) = (d\mathbf{x})_{(u,v)} \cdot e_2\]
El plano tangente a \(S\) en \(p \in S\) es un subvespacio vectorial de \(\mathbb{R}^3\) con dimensión 2 dado por: \[\begin{aligned} T_pS = \{\alpha'(0) \mid \exists \varepsilon > 0, \alpha: (-\varepsilon, \varepsilon) \to S \\\land\ \alpha(0) = p \\\land\ \alpha \text{ diferenciable }\} \end{aligned}\]
Si \(q\) es la preimagen de \(p\) por \(\mathbf{x}\) (es decir, \(\mathbf{x}(q) = p\)) entonces \(T_pS = (d\mathbf{x})_q (\mathbb{R}^2)\)
El plano tangente (afín) a \(S\) en \(p = \mathbf{x}(u,v) \in S\) \[\begin{aligned} T_pS = p + \underbrace{\text{ span}\{\mathbf{x}_u(u,v), \mathbf{x}_v(u,v)\}}_{\text{plano tangente vectorial}} \end{aligned}\]
La recta normal a \(S\) en \(p \in S\) es el complemento ortogonal del plano tangente \(T_pS^\perp\).
Una función definida en la superficie regular \(S\) es \(f: S \to \mathbb{R}^m\).
\(f\) es diferenciable si para toda parametrización \(\mathbf{x}\) de \(S\), la función \(f \circ \mathbf{x}: U \subset R^2 \to R^m\) es diferenciable. Se cumplen las propiedades habituales sobre diferenciabilidad: suma producto y cociente (siempre que tenga sentido) de funciones diferenciables es diferenciable.
Si \(f\) es una función definida entre dos superficies (\(f: S_1 \to S_2\)) entonces \(f\) es diferenciable \(\iff \forall p \in S_1\) hay una parametrización \(\mathbf{x}_1 : U_1 \to S_1\) con \(p \in \mathbf{x}_1(U_1)\) y una parametrización \(\mathbf{x}_2 : U_2 \to S_2\) con \(f(p) \in \mathbf{x}_2(U_2)\) tales que \(\overline{f} := \mathbf{x}_2^{-1} \circ f \circ \mathbf{x}_1\) es diferenciable. \(\overline{f}\) es la expresión en coordenadas de \(f\).
La diferencial de una función definida en una superficie regular es \[(df)_p: T_pS \to \mathbb{R},\qquad (df)_p(x) := (f \circ \alpha)'(0)\] donde \(\alpha: (- \varepsilon, +\varepsilon) \to S\) es una curva diferenciable en \(S\) tal que \(\alpha(0) = p \land \alpha'(0) = x\). \((df)_p\) está bien definida y es independiente de la elección de \(\alpha\).
Más comodamente, si \(\mathbf{x}\) es una parametrización de \(S\) tal que para ciertos \(u_0, v_0\) se tiene que \(\mathbf{x}(u_0, v_0) = p\), entonces la matrix asociada a la diferencial en la base \(\{\mathbf{x}_u(u_0, v_0), \mathbf{x}_v(u_0, v_0)\) es \[ (df)_p = \left(\begin{array}{c} (f \circ \mathbf{x})_u(u_0, v_0) \\ (f \circ \mathbf{x})_v(u_0, v_0)\end{array}\right)\]
La primera forma fundamental de \(S\) en \(p\) es \[\mathrm{I}_p : T_pS \times T_pS \to \mathbb{R},\qquad \mathrm{I}_p(x, y) := \langle x, y\rangle\]
Es bilineal, simétrica y definida positiva (es el producto escalar restringido a cada plano tangente de \(S\) en \(p\)).
Dada una parametrización \(\mathbf{x}\) de \(S\) tal que \(\mathbf{x}(u_0, v_0) = p \in S\) la matriz de \(\mathrm{I}_p\) respecto de la base \(\mathcal{B} = \{\mathbf{x}_u(u_0, v_0), \mathbf{x}_v(u_0, v_0)\}\) es \[ (I_p)_{\mathcal{B}} = \left(\begin{array}{cc} E & F \\ F & G\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} \langle \mathbf{x}_u, \mathbf{x}_u\rangle & \langle \mathbf{x}_u, \mathbf{x}_v\rangle \\ \langle \mathbf{x}_v, \mathbf{x}_u\rangle & \langle \mathbf{x}_v, \mathbf{x}_v\rangle\end{array}\right)\] donde cada derivada parcial de \(\mathbf{x}\) está evaluada en \((u_0, v_0)\).
Al escribir \[\mathrm{I}_p(x, y) = \langle x, y\rangle = (x_1, x_2) (I_p)_{\mathcal{B}} \left(\begin{array}{c} y_1 \\ y_2\end{array}\right)\] estamos obteniendo el producto escalar de dos vectores en \(T_pS\) en función de sus coordenadas \((x_1, x_2)\) e \((y_1, y_2)\) respecto de la base \(\{\mathbf{x}_u, \mathbf{x}_v\}\).
La forma diferencial de la primera forma fundamental es \[I = E du^2 + 2F dudv + F dv^2\] donde \(E, F\) y \(G\) son funciones diferenciables que evaluamos para cada \(p \in S\).
La longitud de un segmento de una curva diferenciable \(\alpha: I \to S,\ \alpha(t) = \mathbf{x}(u(t), v(t))\) es \[L(\alpha|_{[a,b]}) = \int_a^b \sqrt{\mathrm{I}_{\alpha(t)}(\alpha'(t), \alpha'(t))}dt = \int_a^b \sqrt{Eu'(t)^2 + 2Fu'(t)v'(t) + Gv'(t)^2}dt\]
El área de una región \(R \subset S\) contenida en \(\mathbf{x}(U)\) (bien parametrizada) es: \[A(R) = \int_{\mathbf{x}^{-1}(R)} \lVert \mathbf{x}_u \times \mathbf{x}_v \rVert dudv = \int_{\mathbf{x}^{-1}(R)}\sqrt{EG- F^2}dudv\]
Sea \(f: S_1 \to S_2\) una aplicación diferenciable entre superficies regulares.
\(f\) es una aplicación conforme si existe una aplicación diferenciable positiva \(\lambda: S_1 \to R\) tal que \[\langle (df)_p(x), (df)_p(y)\rangle = \lambda(p) \langle x, y\rangle, \qquad \forall x, y \in T_pS_1,\ \forall p \in S_1\]
Una parametrización \(\mathbf{x}: U \subset \mathbb{R}^2\) se dice conforme si cumple la definición anterior para \(S_2 = \mathbb{R}^2\). Es decir, \(\forall x, y \in \mathbb{R}^2\) y \(\forall p \in U\). Equivalentemente, \(\mathbf{x}\) se dice conforme si \[\mathrm{I}_p^{\mathbf{x}} = \left(\begin{array}{cc} E & F \\ F & G \end{array}\right) = \lambda(p) \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)\] es decir, si \(E = G\) y \(F = 0\) para todo \(p = (u, v) \in U\).
\(f\) es conforme \(\iff\) preserva ángulos
\(f\) es equiárea \(\iff\) preserva \(\det \mathrm{I}_p = EG- F^2\) entre \(S_1\) y \(S_2\)
\(f\) es una isometría local \(\iff\) preserva la primera forma fundamenteal, es decir, \[\langle (df)_p(x), (df)_p(y)\rangle = \langle x, y\rangle\]
\(f\) es una isometría local \(\iff f\) es conforme con \(\lambda(p) = 1\) constantemente
Toda isometría local de superficies es un difeomorfismo local
\(f\) isometría local \(\iff f\) preserva longitudes, ángulos y áreas
Dos superficies son localmente isométricas si existe una isometría local \(f\) entre ellas y además \(f\) es sobre entre \(S_1\) y \(S_2\). No es suficiente que \(f\) sea una isometría local.
Una isometría global entre superficies es un difeomorfismo global que además es isometría local.
Dos superficies son globalmente isométricas si existe una isometría global entre ellas.
isometría global \(\implies\) isometría local
La aplicación de Gauss \(N: \mathbf{x}(U) \to \mathbb{S}^2\) definida por \[(N \circ \mathbf{x})(u,v) = N(\mathbf{x}(u, v)) = \frac{\mathbf{x}_u \times \mathbf{x}_v}{\lVert \mathbf{x}_u \times \mathbf{x}_v \rVert}\] asocia a cada punto \(p = \mathbf{x}(u, v) \in S\) su vector normal unitario. En ocasiones abusaremos de la notación para denotar \(N\) como aplicación de \(U\) a \(\mathbb{S}^2\) escibiendo \(N(u,v) = (N \circ \mathbf{x})(u,v)\).
\(N\) define un campo normal unitario localmente para cada entorno \(\mathbf{x}(U)\) de \(p\).
Si \(N\) define un campo normal globalmente para todo \(p \in S\) se dice que \(S\) es orientable. Esto depende de la parametrización, por tanto \(S\) es orientable si existe alguna parametrización para la que \(N\) defina un campo normal unitario en toda \(S\). Son orientables el plano, la esfera, los conjuntos de nivel y los grafos de funciones, entre otros.
A partir de N definimos un endomorfismo \(J: T_pS \to T_pS\) dado por \[Jx := N(p) \times x\] que rota el vector \(x \in T_pS\) 90º en el sentido que hace que \(\{x, Jx, N(p)\}\) sea una base ortogonal positivamente orientada.
Si tomamos \(x = \mathbf{t}_\alpha(s)\) para una curva regular \(\alpha \subset S\) entonces la base que forman \(\{\mathbf{t}_\alpha(s), J\mathbf{t}_\alpha(s), (N \circ \alpha)(s)\}\) se conoce como triedro de Darboux.
La segunda forma fundamental es la aplicación \[\mathrm{II}_p : T_pS \times T_p S \to \mathbb{R},\qquad \mathrm{II}_p(x,y) := \langle x, W_p y\rangle\]
\(\mathrm{II}_p\) es bilineal y simétrica (en cualquier base, no solo en bases ortonormales) pero no tiene por qué ser definida positiva
La expresión matricial de \(\mathrm{II}_p\) respecto de la base de vectores coordenados \(\mathcal{B} = \{\mathbf{x}_u, \mathbf{x}_v\}\) se puede calcular a partir de la aplicación de Gauss mediante \[\mathrm{II}_p \equiv \left(\begin{array}{cc} e & f \\ f & g \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} \langle \mathbf{x}_{uu}, N\rangle & \langle \mathbf{x}_{uv}, N\rangle \\ \langle \mathbf{x}_{vu}, N\rangle & \langle \mathbf{x}_{vv}, N\rangle\end{array}\right)\]
Un punto \(p \in S\) es umbilical si \(\mathrm{II}_p = \lambda(p) \mathrm{I}_p\)
Una dirección asintótica de \(S\) en \(p\) es un vector \(x \in T_pS\) no nulo tal que \(\mathrm{II}_p(x,x) = 0\).
El endomorfismo de Weingarten se define para cada \(p \in T_pS\) como la aplicación \[W: T_pS \to T_pS \text{ con } Wp(x) := -(dN)_p x\]
Es una aplicación autoadjunta: \(\langle W_p x, y\rangle = \langle x, W_p y\rangle\)
Su expresión matricial1 respecto de cualquier base ortonormal de \(T_pS\) es simétrica y por tanto diagonalizable. Además, las curvaturas que aparecen a continuación definidas en función de los autovalores de \(W_p\) están bien definidas y permanecen invariantes por cambios de base.
La relación matricial respecto de \(\mathcal{B}\) entre \(\mathrm{I}_p, \mathrm{II}_p\) y \(W\) es \[(\mathrm{II}_p)_{\mathcal{B}} = (\mathrm{I}_p)_{\mathcal{B}} (W_p)_{\mathcal{B}}\]
Un punto \(p \in S\) es umbilical si \(W_p = \lambda(p) Id\)
Las curvaturas principales de \(S\) en \(p\) son los autovalores \(\kappa_1(p), \kappa_2(p) \in \mathbb{R}\) de \(W_p\).
Las direcciones principales son cualquier autovector de \(W_p\). Si \(\kappa_1 \neq \kappa_2\) las direcciones principales son los múltiplos no nulos de \(e_1\) y \(e_2\). Si \(\kappa_1 = \kappa_2\) todo vector no nulo de \(T_pS\) es dirección principal.
Una línea de curvatura es una curva diferenciable \(\alpha: I \to S\) tal que \(\alpha'(t)\) es dirección principal de \(S\) para todo \(t \in I \iff W_{\alpha(t)}\alpha'(t) = \lambda(t)\alpha'(t),\ \forall t \in I\) y cierta función curvatura principal \(\lambda : I \to \mathbb{R}\).
Si el polinomio característico es complicado se puede utilizar que \[Wv = \lambda v \iff \mathrm{I}^{-1}\mathrm{II}v = \lambda v \iff \mathrm{II}v = \lambda \mathrm{I}v\]. A partir de aquí, si necesitamos el \(\lambda\) calculamos; si no, definimos \(z = \mathrm{II}v\) y forzamos que sea linealmente dependiente de \(v\), es decir, que \(\det(\mathrm{II}v, \mathrm{I}v) = 0\).
Un punto umbilical es un \(p \in S\) tal que \(\kappa_1(p) = \kappa_2(p)\)
Las funciones de curvatura principal se obtienen de diagonalizar para diagonalizamos para \(p\) genérico. Obtendremos funciones continuas \(\kappa_1(p)\) y \(\kappa_2(p)\). Si \(\kappa_1 \neq \kappa_2\) entonces además son funciones diferenciables.
La curvatura de Gauss de \(S\) en \(p\) es el número real \[K(p) := \det W_p = \kappa_1(p) \cdot \kappa_2(p)\] o, alternativamente \[K(p) = \det(\mathrm{I}^{-1} \mathrm{II}) = \frac{\det \mathrm{II}}{\det \mathrm{I}} = \frac{eg - f^2}{EG - F^2}\] para \(e,f,g,E,F,G\) evaluadas en \(p\).
El Teorema Egregium de Gauss dice que la curvatura gaussiana es invariante por isometrías locales. Es decir, que si \(f:S_1 \to S_2\) es una isometría local, entonces \(K_1(p) = K_2(f(p))\).
Una consecuencia de que la curvatura gaussiana es una propiedad intrínseca es que la podemos obtener a partir de la primera forma fundamental2. En particular, si la parametrización \(\mathbf{x}\) es ortogonal, se tiene que: \[K = -\frac{1}{2\sqrt{EG}}\left[\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{G_u}{\sqrt{EG}}\right) + \frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)\right],\qquad\text{ si } F = 0\]
Atendiendo a la curvatura gaussiana, los puntos \(p \in S\) se clasifican en:
La curvatura media de \(S\) en \(p\) es el número real \[H(p) := \frac{1}{2}\text{tr} W_p = \frac{1}{2}(\kappa_1(p) + \kappa_2(p))\] o, alternativamente \[H(p) = \frac{1}{2} \text{tr} (\mathrm{I}^{-1} \mathrm{II}) = \frac{1}{2}\frac{eG+gE-2fF}{EG - F^2}\] para \(e,f,g,E,F,G\) evaluadas en \(p\).
Sea \(\alpha: I \to \mathbb{R}^3\) una curva regular contenida en \(S\) (es decir, \(\alpha(I) \subset S\))
3 La curvatura geodésica es \[k_{g,\alpha}(s) = \langle \mathbf{t}_\alpha'(s), (N \circ \alpha) \times \mathbf{t}_\alpha(s))\rangle = k_\alpha \langle \mathbf{n}_\alpha, (N\circ \alpha) \times \mathbf{t}_\alpha\rangle\]
La curvatura normal es \[k_{n, \alpha} = \langle \mathbf{t}_\alpha'(s), (N\circ \alpha)(s))\rangle = k_\alpha \langle \mathbf{n}_\alpha, N \circ \alpha\rangle\] además, en relación con la segunda forma fundamental tenemos \[k_{n,\alpha} = \mathrm{II}(\mathbf{t}_\alpha, \mathbf{t}_\alpha)\]
Cualesquiera dos curvas regulares que pasen por un mismo punto \(p \in S\) con vectores velocidad colineales tienen la misma curvatura normal por lo que definimos la curvatura normal de \(S\) en \(p\) en la dirección de un vector unitario \(x\) dado por \[k_n(p, x) := \mathrm{II}_p(x, x)\]
Si para una dirección \(x \in T_pS\) tenemos que \(k_n(p, x) = 0\) entonces \(x\) es una dirección asintótica.
Si \(\{e_1, e_2\}\) es una base ortonormal de \(T_pS\) de dorecciones principales de manera que \(W_p\) es diagonal con coeficientes \(\kappa_1(p), \kappa_2(p)\) y \(x_\theta\) es una dirección en \(T_pS\) enotnces \[k_n(p, x_\theta) = \kappa_1(p)\cos^2\theta + \kappa_2(p)\sin^2\theta\] donde \(\cos \theta = \langle e_1, x_\theta\rangle\).
Curvaturas normal, geodésica y la curvatura escalar de \(\alpha\) cumplen \(k_\alpha^2 = k_{g,\alpha}^2 + k_{n, \alpha}^2\)
Una geodésica es una curva \(\alpha \subset S\) cuya componente tangencial de la aceleración es nula en todo punto de la curva: \[k_{g,\alpha}(s) = 0,\ \forall s \in I\]
Las isometrías4 locales preservan las geodésicas: si \(\alpha_1\) es una geodésica en \(S_1\) y \(S_2\) es localmente isométrica a \(S_1\) por h, entonces la curva \(\alpha_2 = h \circ \alpha_1 \subset S_2\) también es una geodésica. En el plano las geodésicas son las rectas.
Si \(\alpha\) une dos puntos de \(S\) y tiene longitud mínima, entonces \(\alpha\) es una geodésica. Dados dos puntos, la curva que los une de menor longitud es una geodésica y es única. 5
El Teorema de Clairaut6 dice que si la primera forma fundamental de una parametrización \(\mathbf{x}(u,v)\) solo depende de \(u\), entonces \(\alpha \subset S\) es una geodésica \(\iff \langle \alpha', \mathbf{x}_v\rangle = a\) con \(a\) constante.
Como \(\alpha' \in T_pS\) podemos escribir \(\alpha' = u'\mathbf{x}_u + v'\mathbf{x}_v\) y por tanto \(\langle \alpha', \mathbf{x}_v\rangle = \langle u'\mathbf{x}_u + v'\mathbf{x}_v, \mathbf{x}_v\rangle = u'F + v'G\) utilizando que \(\mathrm{I}\) es bilineal.
Si calculamos \(W_p\) mediante la diferencial del normal, debemos recordar que para obtener la forma matricial del endomorfismo necesitamos fijar una base. Por tanto, para llegar a la misma matriz que la que sale de las formas fundamentales mediante la fórmula que se expone a continuación, necesitamos expresar \(dN\) respecto de la base de vectores coordenados.↩
Ver la fórmula de Brioschi en https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_curvature#Alternative_formulas↩
Las curvaturas geodésica y normal son las componentes del vector normal \(\mathbf{n}_\alpha\) de una curva \(\alpha \subset S\) regular. Recordemos que dado un punto de la curva que también está en la superficie podemos construir el triedro de Darboux tomando como vector de referencia \(\mathbf{t}_\alpha(s)\). En este caso, se genera el la base ortogonal \(\{\mathbf{t}_\alpha(s), J\mathbf{t}_\alpha(s), (N \circ \alpha)(s)\}\). Como \(\mathbf{n}_\alpha(s) \perp \mathbf{t}_\alpha(s)\) si expresamos \(\mathbf{n}_\alpha(s)\) respecto del triedro de Darboux solo tendrá coordenadas en \(J\mathbf{t}_\alpha(s)\) y \((N \circ \alpha)(s)\). Definimos las curvaturas geodésica y media como este par de coordenadas respecto del triedro de Darboux (sabiendo que la coordenada que acompaña a \(\mathbf{t}_\alpha(s)\) siempre será 0).↩
Ojo: en ocasiones hay que trabajar un poco para obtener la parametrización. Por ejemplo, la isometría entre plano y cono no es la identidad como ocurre en el cilindro. La forma más sencilla de obtenerla es parametrizar el plano en coordenadas polares y el cono como superficie de revolución, pero además tomando una parametrización por longitud de arco de la recta \((r(u), z(u))\) que giramos al rededor del eje \(z\) para parametrizar el cono. Esto nos da casi una isometría salvo por el \(G\) de la \(I_\phi\). Lo corregimos multiplicando \(v\) por la norma de la recta \((r, z)\). Es decir, parametrizar el plano por \(\mathbf{x}(r, \theta)\) y el cono por \(\phi(u, v)\) donde \[\mathbf{x}(r,\theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta, 0) \\ \phi(u,v) = \frac{\rho u}{\sqrt{\rho^2 + 1}}\left(\cos(v\sqrt{\rho^2 + 1}), \sin(v \sqrt{\rho^2 + 1}), 1\right)\] En cualquier caso, aunque lo de las isometrías está bien, no debemos olvidar el Teorema de Clairaut mencionado más arriba. En este caso, parametrizando el cono sin las restricciones adicionales, es decir, tomando \(\psi(u, v) = (u\cos v, u \sin v, u)\) como parametrización, tenemos que \(I_\psi\) solo depende de \(u\) y por tanto podemos aplicar el teorema.↩
Sin embargo, si \(\alpha\) es una geodésica que pasa por dos puntos, no tiene por qué ser la curva de menor longitud que los une, puede haber varias geodésicas que lo hagan. Lo importante es que solo una curva será de longitud mínima y dicha curva será una geodésica.↩
No confundir con el Teorema de Clairaut-Schwarz sobre la simetría de las derivadas cruzadas.↩