Tipos de ecuaciones de primer grado

• De variables separadas: cuando se puede dejar \(t\) a un lado y \(x\) a otro, por ejemplo

  \[x' = t^2x \iff \frac{dx}{dt} = t^2x \iff \frac{dx}{x} = t^2dt\] se

  resuelven integrando a ambos lados.

• Exactas: son de la forma \(Mdx + Ndy = 0\). Se resuelven encontrando \(G(x,t) = 0\). Para ello hay dos caminos:
  • Si \(M_y = N_x\), esto es, si \(\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}\) entonces \(G(x,y)\) se obtiene integrando \(G(x,y) = \int M dy + H(x) = \int N dx + H(y)\).

Ecuaciones diferenciales ordinarias de grado \(n\)

• Una ecuación diferencial de grado \(n\) se puede escribir \[x^{(n)} + a_{n-1}(t)x^{(n-1)} + \dots + a_2(t)x' + a_1(t) x = f(t)\]

  Si el coeficiente de \(x^{(n)}\) no es \(0\) se puede dividir por el para llegar a la forma anterior. Sino, se trata de una ecuación de grado \(n-1\).

• Su ecuación homogénea asociada es \[x^{(n)} + a_{n-1}(t)x^{(n-1)} + \dots + a_2(t)x' + a_1(t) x = 0\]

  Las soluciones de esta ecuación están en un espacio vectorial de dimensión \(n\). Esto significa que encontrando \(n\) soluciones linealmente independientes \(x_1, \dots, x_n\) ya tenemos todas las soluciones de la ecuación homogénea que podemos escribir como la solución general \[x_h(t) = c_1 x_1(t) + \dots + c_n x_n(t)\]

• En general, no hay un método para resolver ecuaciones en las que los coeficientes \(a_1(t), \dots, a_{n-1}(t)\) no son constantes pero algunas admiten trucos que se describen más adelante.

• En cualquier caso, la solución de una EDO (homogénea o no) de grado \(n\) siempre será \[ x(t) = x_h(t) + x_p(t)\] donde \(x_h\) es una solución general de la ecuación homogénea asociada y \(x_p\) una solución particular de la EDO original.

• Si \(a_1(t), \dots, a_{n-1}(t)\) son en realidad constantes entonces la solución de la ecuación se obtiene con el siguiente procedimiento:

  1. Solución de general de la homogénea, e.d., base de un e.v. de dimensión \(n\). Es de la forma \[x_h(t) = c_1 x_1(t) + c_2 x_2(t) + \dots + c_n x_n(t)\] para \(c_1, \dots, c_n \in \mathbb{R}\) y \(x_1, x_2, \dots, x_n\) soluciones particulares linealmente independientes. Estas últimas se pueden obtener a partir de las soluciones de la ecuación característica \(P(\lambda) = \lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1} + \dots + a_2 \lambda + a_1 = 0\)

     • Si todas las raíces son reales y distintas entonces la solución es de la forma \[x_h(t) = c_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 e^{\lambda_2 t} + \dots + c_n e^{\lambda_n t}\]

     • Si aparecen raíces \(\lambda\) con multiplicidad \(m > 1\) entonces la solución homogénea incluirá los términos \[c_1 e^{\lambda t} + c_2 t e^{\lambda t} + \dots + c_m t^{m-1} e^{\lambda t}\] para garantizar que el espacio de solucuiones siga teniendo dimensión \(n\).

     • Si aparecen dos raíces \(\lambda_1, \lambda_2\) complejas entonces también serán conjugadas. Si decimos que \(\lambda_1 = a + bi\) (y por tanto \(\lambda_2 = a - bi\)), la solución tendrá términos de la forma \[c_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 e^{\lambda_2 t} = e^{at}\left(\hat{c_1}\cos bt + \hat{c_2}\sin bt\right)\] En este caso todas las constantes son reales (la parte imaginaria se cancela).

  2. Solución particular de la EDO:

     • Por variación de constantes utilizando el Wronskiano \[ \left( \begin{array}{cccc} x_1(t) & x_2(t) & \dots & x_n(t) \\ x_1'(t) & x_2'(t) & \dots & x_n'(t) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{(n-1)}(t) & x_2^{(n-1)}(t) & \dots & x_n^{(n-1)}(t) \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} c_1'(t) \\ c_2'(t) \\ \vdots \\ c_n'(t)\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ \vdots \\f(t)\end{array}\right) \] e integrando \(c_i'(t)\) con respecto a \(t\).

     • Por coeficientes indeterminados

  3. Concluir que la solución general de la EDO es \(x(t) = x_h(t) + x_p(t)\).

• Las constantes \(c_1, \dots, c_n\) de la solución general de la EDO original se determinan a partir de un PVI en el que aparecen \(n\) condiciones (por ejemplo de la forma \(x(0) = x_0, x'(0) = x_1, \dots, x^{(n - 1)}(0) = x_{n-1}\).

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas lineales con coeficientes constantes

• Un sistema lineal de EDOs se ecribe \[X'(t) = \mathbb{A}X(t) + B(t)\] donde \(X(t)\) es una función vectorial de \(n\) variables, \(X'(t)\) su derivada con respeco de \(t\) y \(B\) un vector de funciones en \(t\).

• Un sistema lineal es homogéneo si \(B(t)\) es nulo.

  • Las soluciones de un sistema lineal homogéneo de \(n\) EDOs es un espacio vectorial de dimensión \(n\).

  • Se obtiene una base de este espacio a partir de la ecuación característica en \(\lambda\). En el caso de los sistemas la ecuación característica es el polinomio característico de la matriz \(\mathbb{A}\) igualado a 0: \[\det (\mathbb{A}- \lambda I) = 0\]

    • Para cada \(\lambda_i\) autovalor de \(\mathbb{A}\) con multiplicidad 1 se obtiene una solución \(X_i(t) = e^{\lambda_i t}V_i\) donde \(V_i\) es el autovector asociado a \(\lambda_i\).

    • Para cada \(\lambda_i\) autovalor de \(\mathbb{A}\) con multiplicidad \(m\) se obtiene una solución de la forma \(X_i(t) = e^{\lambda_i t}(V_1 + tV_2 + \dots + t^{m-1}V_m\). Los vectores \(V_1, \dots, V_{m-1}\) se obtienen de plantear el sistema: \[\begin{multline*} \begin{cases} \frac{d}{dt} e^{\lambda_i t}V_1 = \mathbb{A}V_1 \\ \frac{d}{dt} e^{\lambda_i t}(V_1 + tV_2) = \mathbb{A}(V_1 + tV_2) \\ \dots \\ \frac{d}{dt} e^{\lambda_i t}(V_1 + t V_2 + \dots + t^{m-1} V_m) = \mathbb{A}(V_1 + t V_2 + \dots + t^{m-1} V_m) \end{cases} \iff \\ \begin{cases} \lambda_i V_1 = \mathbb{A}V_1 \\ \lambda_i (V_1 + t V_2) = \mathbb{A}(V_1 + tV_2) \\ \dots \\ \lambda_i(V_1 + \dots + t^{m-1}V_m = \mathbb{A}(V_1 + \dots + t^{m-1}V_m \end{cases} \end{multline*}\]

    • Si \(\lambda_i\) es complejo

  • La solución general de un sistema lineal homogéneo puede darse por la matriz fundamental principal \(e^{t\mathbb{A}}\).

Sistemas lineales con coeficientes variables

• En general no se pueden resover por el mismo procedimiento.

• Si en realidad son sistemas no ligados, sí que se pueden resolver, por ejemplo el ejercicio 12 de la hoja 4 en el que una ecuación es \(y_1' = y_1\).

Teorema general de existencia y unicidad

Sea \(f:I \subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) una función. Definimos su norma infinito \[\lVert f \rVert_\infty = \sup_{x \in I} f(x)\] que es una norma como otra cualquiera y cumple las propiedades habituales.

Sea \(\{f_n\}_{n=1}^\infty\) una sucesión de funciones sobre un intervalo \(I\)

• \(\{f_n\}\) converge punto a punto a \(f(x) \iff\) \[\forall x \in I,\ f_n(x) \xrightarrow{n\to \infty} f(x)\]

• \(\{f_n\}\) converge uniformemente a \(f(x) \iff \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}\) tal que \[|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon,\ \forall n > N,\ \forall x \in I\]

  1. Si \(\{f_n\}\) converge uniformemente a \(f\) entonces \(\{f_n\}\) también converge punto a punto a \(f\).

  2. Si \(\{f_n\}\) converge uniformemente a \(f\) y cada \(f_n\) es continua entonces la función límite \(f\) también es continua.

  3. Como el límite (punto a punto o uniforme) de una sucesión \(\{f_n\}\) es único, si \(\{f_n\}\) converge punto a punto a \(f\) entonces \(f\) es la única candidata a límite uniforme de \(\{f_n\}\).

  4. De 1., 2. y 3. se deduce que si \(\{f_n\}\) con \(f_n\) continua es convergente punto a punto a \(f\) y \(f\) no es continua entonces \(\{f_n\}\) no puede ser convergente uniformemente a \(f\).

  5. \(\{f_n\}\) converge uniformemente a \(f \iff \lVert f_n - f \rVert_\infty \to 0\), es decir, si \(\lim_{n\to \infty} \sup |f_n - f| = 0\).

     • Si queremos probar que \(f_n\) converge uniformemente a \(f\) tenemos que encontrar dicho supremo y ver que tiende a 0 cuando \(n\) tiende a \(\infty\) (por ejemplo, igualando \(f'_n = 0\) y mirando también en los extremos del intervalo).

     • Si queremos probar que \(f_n\) no converge uniformemente vale con encontrar un \(x_0 \in I\) para el que \[\lim_{n\to \infty} |f_n(x_0) - f(x_0)| \neq 0\]

  6. Si estamos en un espacio vectorial normado por \(\lVert \cdot \rVert_\infty\) que además es completo (de Banach) (por ejemplo \(C([a,b]) \equiv\) las funciones continuas de \([a, b]\) en \(\mathbb{R}\)) entonces \[\{f_n\} \text{ de Cauchy } \iff \{f_n\} \text{ uniformemente convergente }\]

• Una función \(f: I \subset \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n\) es Lipschitz \(\iff \exists L \in \mathbb{R}\) tal que \[ \lVert f(x) - f(y) \rVert_n \leq L \lVert x - y \rVert_m,\ \forall x,y \in I\]

  1. \(f\) Lipschitz \(\implies f\) continua
  2. \(f\) derivadas parciales acotadas \(\implies f\) Lipschitz
     • Si \(f\) es \(C^1\) (las derivadas parciales son continuas) entonces en un compacto también son acotadas y por tanto \(f\) es Lipschitz en ese compacto.

• \(f\) es localmente Lipschitz si para todo punto existe un entorno en el que se cumple la condición de Lipschitz.

• Teorema de existencia y unicidad global. Sea \(F:[a,b] \times \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d,\ (t,X) \mapsto F(t,X)\) una función Lipschitz con respecto a \(X \in \mathbb{R}^d\) y sea el PVI \[\begin{cases}X'(t) = F(t, X(t)),\ \forall t \in [a,b] \\ X(t_0) = X_0,\ t_0 \in [a,b] \end{cases}\] Entonces existe una única \(X:[a,b] \to \mathbb{R}^d\) de clase \(C^1\) que verifica el PVI anterior.

• 3 resultados sobre prolongabilidad de soluciones en \(R^2\). Sea \(D\) la banda \(D = (a,b) \times \mathbb{R}\) y sea \(x' = f(t, x)\) con \(f:(a,b) \to \mathbb{R}\). Si se cumple cualquiera de las 3 siguientes condiciones, entonces existe una solución maximal definida \(\forall t \in (a,b)\).
  1. \(|f(t,x)| \leq L\) para algún \(L \in \mathbb{R}\)
  2. \(|f(t,x)| \leq \alpha(t) |x| + \beta(t)\) con \(\alpha, \beta\) continuas en \((a,b)\).
  3. \(|f(x_1, t_1) - f(x_2, t_2)| \leq K(t)|x_1 - x_2|\) con \(K\) continua en \((a,b)\)

  Observar que las dos últimas condiciones permiten asíntotas verticales en \(t=a\) y \(t=b\).

• Corolario del Lema de Gronwall para acotación de soluciones. Sea \(F(t, u(t))\) una función Lipschitz con constante \(L\) (no necesariamente la menor) y sean \(x_1(t), x_2(t)\) tales que se verifica \[|x_1'(t) - F(t, x_1(t))| < \varepsilon_1\\|x_2'(t) - F(t, x_2(t))| < \varepsilon_2\] donde \(\varepsilon_1, \varepsilon_2\) son constantes. Entonces \[ |x_1(t) - x_2(t)| < |x_1(a) - x_2(a)|e^{L(t-a)} + \frac{e^{L(t-a)} - 1}{L}(\varepsilon_1 + \varepsilon_2)\]